Pokusím se to popsat jednoduše. Router může být v režimu NAT (překlad síťových adres), kdy na vstupu mám IP adresu z jiného rozsahu, než na výstupu a mezi těmito rozhraními dochází k překladu adres. Dále může být v režimu Bridge, kdy routerem zjednodušeně vše prochází.
Příklad:
Abych při připojení obdržel automaticky IP adresu z DHCP serveru, tak ji můžu dostat od svého routeru (který je v režimu NAT), nebo od zařízení mého poskytovatele, kdy mým routerem vše prochází (režim Bridge).
Tohle vše popisuje stav pro IPv4 (veřejné IPv4 adresy už celosvětově došly), dnes je trend IPv6, které se zjednodušeně šíří v režimu Bridge a je jich dostatek.
P.S. Dost často se stává, že zařízení od poskytovatele NATuje, potom NATuje můj WiFi router a když si připojím ještě další WiFi router pro pokrytí většího prostoru a NATuje také, tak bývá problém s tzv. dvojitým až trojitým NATem, např. u Playstationů apod., které potřebují přesměrovat určité porty pro bezproblémovou funkčnost.
Také se hodně kolem tohoto řeší bezpečnost sítě, kdy nemám zájem, aby se na mé 'NB/PC/tablety/telefony/TV' pokoušeli připojit sousedi, ale to velmi záleží na topologii mého poskytovatele, aby např. používal VLANy a jednotlivé přípojky od sebe oddělil. NAT sice tohle u IPv4 částečně řeší, ale každý na to má různý názor a to už bychom se dostali do kategorie firewallů atd.